西风 鹭羽 发自 凹非寺

量子位 | 公众号 QbitAI

至此，这个尘封50年的难题终于得到完全解决。

关键是，AI又立大功了。在多种AI工具的辅助下，整个解题流程仅用48小时便完成。

博采众家&AI之长，正在成为解决问题的关键。

正如陶哲轩本人所说：

用传统方法，一两位数学家用简单的编程和文献检索工具，最终也能完成，但可能需要数周或者数月才能解决。

陶哲轩随后亲自梳理并公开了此次问题被解决的完整过程。

消息传出后，网友纷纷感叹“太酷了”：

一起来看看他们究竟是如何解决的？

问题最早在1975年被提出，初始问题为：

但该问题表述相当模糊，于是数学家Desmond Weisenberg提议对这个函数的最小可能值进行研究，引入一个最大常数的量c(n)，使得：

其中c(n)是所有长度为n的不同实数序列。

如果用博弈论来解释该问题，那么就是：

假设Alice有N个硬币，她将硬币分为n堆，每堆大小都为，Bob只能选择一个单调子序列的堆，并拿走这些堆里的所有硬币。

问Bob无论Alice如何分配硬币，至少能保证拿走全部硬币的多少比例？其中c(n)是Bob拿走的最小比例。

这里陶哲轩还用AI画了一张简单的说明图：

陶哲轩随即给出了他的初步答案，显然c(1)=1时，Alice只有一堆，Bob可以拿走全部；c(2)=1时，两堆一定处于单调，Bob可以拿两堆；c(3)=2/3时，Bob至少可以取两堆，但无法保证全部三堆。

数学家Stijn Cambie提出了更进一步的猜想。

通过计算c(n)的前几个值可以得到，存在以下近值：1，1，2/3，1/2，1/2，3/7，2/5，3/8，1/3。

所以如果,...,是不同的正实数且，那么总存在一个和至少为1/k的单调子序列。

但该问题随后一直没有出现进展，直到Boris Alexeev使用Harmonic的数学AI模型亚里士多德，在证明助手Lean中自动构造并证明了关键不等式。

该证明成功将原问题转化为一个计算几何领域的矩形填充问题。

一个小时不到，另一位数学家Koishi Chan加入其中，给出了一个基于原始Erdős–Szekeres定理的替代证明，印证了前面AI的发现。

第二天，陶哲轩注意到了这个问题，他将该问题放入AlphaEvolve，要求它通过生成总和为固定值（这里选择的是10的6次方）的实数（或整数）序列，来获取c(n)的上界，并尽可能确保S的值够小。

在运行一小时后，AlphaEvolve生成了以下c(n)的上界，其中包含了一些结构清晰的潜在极值解：

显然数值分数（除以10的6次方）正在试图逼近简单有理数，于是陶哲轩又利用John Cook的公开专用工具，将序列整理成：

这为序列c(n)的值提供了一种猜想，之后Boris Alexeev继续找到了该猜想的简洁表述，即：

满足和。

另外，他还提供了一个明确的上界构造：

该上界通过构造不利配置的序列实现，基本思想仍然来自Erdős–Szekeres定理，即复杂设计数字排列顺序，会使得长单调序列无法同时拥有很好的权重。

这种构造是组合性的，需要精心设计序列结构与分块策略，才能使最长序列单调和受限。

用ChatGPT Pro生成1/c(n)的图像，能够直观看出，它基本上是对平方根函数的分段线性逼近。

不久之后，数学家Lawrence Wu就该问题，结合正方形填充进行了阐述。

根据Erdős，他将f(n)引入该问题，设定其为最小数，使得把n个正方形按平行坐标轴打包进一个大正方形时，满足：

其中对于n=10时，用ChatGPT Pro生成转换成方形打包的图像，如图所示：

在此基础上，Lawrence Wu通过AI论文检索，找到了一篇去年由Baek、Koizumi和Ueoro联合发表的论文，最终证明了猜想中的公式，从而完成了整体证明。

接下来陶哲轩将上述所有信息全部输入了ChatGPT，生成了连贯证明。

人+人+AI=数学破壁机

当然，这已经不是陶哲轩第一次用AI解题了。

这是他本人很擅长的连续整数结构的乘法数论问题，该问题建立在前人并不完整的反证基础上，陶哲轩借助Gemini Deep Think进行证明补全。

全程只用了十分钟，Gemini就从论证分析打通了结论确认。

另外，陶哲轩前段时间还利用GPT-5进行半自动化文献检索。

他借助GPT-5对相关数列进行高精度计算，随后将得到的结果输入OEIS（一个收录全球数列的数据库）进行检索对照，进而发现部分Erdős问题其实早已在既有研究中被解决——只是长期没人注意到，未把结果与问题库对应起来。

至于什么是Erdős问题？

它出自20世纪著名匈牙利数学家Paul Erdős。此人一辈子合作了超500位数学家，毕生发表了约1525篇数学论文，数量之多，至今无人能及。相应地，他也提出或转述了千道问题，给后人留下了“Erdős问题”。

其中大量题目被收录于erdosproblems.com网站。该网站由数学家Thomas Bloom制作，记录了每道题目的当前状态。目前，绝大多数难题依然悬而未解。

随着AI技术的不断进步，接连有人利用AI成功解答了这些几十年来未曾解决的难题。

陶哲轩本人就表示，“在Erdős问题网站上，AI辅助已经变得很常见”。

就在前几天，来自Harmonic的数学AI模型还被曝。

微软前AI副总裁、目前在OpenAI研究AGI的Sebastien Bubeck表示“该解决方案100%由AI生成，总计耗时6小时”。

目前，Erdős网站也公开鼓励大家借助AI等工具辅助解题：

允许使用AI辅助撰写评论，但需满足：(a)公开说明使用了AI；(b) 内容（包括数学内容、代码、数值数据及相关来源）已由用户本人独立（不借助AI）仔细检查和验证；(c)评论长度合理。

这种协作方式，也正在成为一种新趋势。

参考链接：

[1]https://www.erdosproblems.com/forum/thread/1026

[2]https://terrytao.wordpress.com/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126/