光速不变意味着什么？如何通过伪转动得到洛伦兹变换？度规有什么重要意义？1月18日12时，《张朝阳的物理课》第二百七十三期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，带领大家回顾了狭义相对论的核心——光速不变与洛伦兹变换。本次物理课首先回顾了如何利用思想实验来获取光速不变下的不变量，并基于这个不变量，通过把旋转推广到伪旋转，得到了洛伦兹变换的具体形式。

张朝阳先带回顾了时空的概念。三维空间最为大家所熟悉， 在其中利用三个坐标就可以描述一个点，比如在地球上，向东多少向南多少加上海拔多少就能共同描述一个具体的位置。同时也要注意，真实的世界中时间也是一个坐标。“在什么位置，在什么时间”，共同构成一个四维“空间”，物理上称之为时空，即三维空间加上一维时间。四维时空中的一个点即是一个事件。

直观印象上，时间均匀流淌，和空间位置关系不大，无论身在何处，都可以使用同一个均匀走动的时钟。这就构成了经典的牛顿时空观：四维时空中，时间与空间无关，均匀流淌，空间则是一个固定的舞台。后来发现，真实世界可能并非如此，这从发现光速有限开始。光速有限这一点在牛顿时代并未被人们意识到，毕竟那时候生活中常见的运动速度都不高，而光速速度极快（1秒就可以绕地球7.5圈），几乎可以认为是无限大。历史上最终通过天文实验说明了光速的大小是有限的，这一定程度上挑战了绝对时空观。比如，对于两个不同地方的观察者，要同时进行某一事件，在牛顿时空观中由于存在一个普适的瞬时传递的时钟，这是容易的。但实际因为光速有限，两位观察者无法瞬时确定对方的行动，他们必须有一个利用信息传递来校准时钟的过程。信息传递的速度至多是光速，这意味着这个过程要花费有限长的时间。

后来，人们发现了一件更重要的事情，光速不仅是有限的，更是参考系变换下不变的。在此之前，人们相信光应该需要介质才能在真空中传播，同时又希望在牛顿时空观下找到一种绝对静止的物质来定义运动，于是假定真空中充满了以太这种特殊物质。以太说认为光速只有相对以太是常数c，任何相对以太运动的观测者，测量到的光速应该偏离c。直到后来，迈克尔逊-莫雷实验发现，无论在何时、何方向进行测量，得到的光速都是相同的。这证实了光速的不变性，否定了以太的存在，同时给牛顿时空观带来了巨大的挑战。

仔细考虑会发现，光速不变将会导致非常深刻的物理后果，爱因斯坦正是意识到这些，才发展出了狭义相对论。比如，对于同一块表，不同参考系的观察者看到的走时速度将是不同的。这些将导致许多与经典观念相悖的结论，比如，“同时性”的描述将依赖于参考系而不再绝对。考虑这样一个例子：在一个长度为2L以速度v运行的飞船中央，向前后两侧同时发射一束光，在飞船上静止不动的人的视角里，光将经过L/c的时间后同时到达飞船两侧。但是在地面上人的视角里，光速仍然是c。考虑到飞船同时也在运动，如果忽略飞船长度的变化，可以计算得出光需要L/(c-v)的时间才能到达飞船前侧，L/(c+v)的时间到达飞船后侧。这意味着，在一个参考系中同时发生的事件——光撞在船头或者船尾上，在另外一个参考系中可能是不同时的。

这让人惊讶，时间间隔（还有其他物理量，比如长度）可能会随着参考系变化而变化。今天所要讨论的，正是在光速不变的条件下，在不同惯性参考系之间物理量该如何变换。

张量的定义与参考系变换回顾

为了接下来的讨论方便，暂不考虑y和z方向的坐标而只考虑t和x方向的坐标。对于两个不同的参考系S和S’。根据刚才的讨论，有些物理量将会随着参考系的变化而变化，比如时间。但是有些物理量应该不会变化，比如光速本身，比如固有温度。有这样一类称之为张量的重要物理量，其本身不随参考系变化，但是其分量按照一定规则变换。张量指标的数目可以不同，0个指标的张量又称为标量，1个指标又称为矢量，每个指标的分量数目与时空的维数相同。在三维空间中，牛顿力学里的速度就是矢量，流体力学中的应力张量就是二阶张量。注意不是随便一组数就可以组成特定阶的张量，张量在不同参考系下，其分量应当按照特定规则变换。

具体而言，这个张量分量的变换规则应该是什么样的呢？接下来将看到，在不同的惯性系之间，这个变换正是洛伦兹变换。对于两个参考系，其坐标和基矢分别为：

对于给定矢量，在两个不同参考系中有不同的分量展开：

这里利用字母加箭头的方式来强调这个物理量在各个参考系下都是不变的，变换的只是展开系数，展开系数按照如下方式变化：

这种变换方式也保证了矢量整体是不变的。对于惯性系之间的变换，这里的变换正是洛伦兹变换。

具体地，接下来观察一种特殊的一阶张量：位矢。要注意的是，这里的研究对象选取的并不是坐标本身。大家可能经常听说“洛伦兹变换描述了两个惯性系之间的坐标变换”，这可能会带来混淆。实际上洛伦兹变换描述的是张量分量的变换，而坐标本身并不构成张量。但是坐标之差在闵氏时空可以构成矢量，坐标本身可以看作与原点的坐标差，所以在很多情形下就有了“洛伦兹变换描述了不同惯性参考系之间的坐标变换”这样的描述。

所需要知道的变换矩阵即

下面将按照定义来得到惯性系变换这一特殊情形下对应的变换矩阵，即洛伦兹变换矩阵。

平直空间的转动

在具体得到这个变换矩阵之前，可以先探究二维平面空间的情况来获得一些直觉，进而推广得到惯性系之间的变换。对于二维平直空间，可以直接选取坐标和位矢如下：

众所周知，此时如果限定变换是线性的，并且保距，即保持线元长度不变，则这个变换一定可以写作一个旋转（允许相差一个反射的意义上）。

可以很容易写出变换的具体形式，假设矢量原来的极角为θ，在对坐标系旋转φ后得到的新坐标系中，相应的位矢分量为：

即

这个旋转可以保证位矢dr的模不变，也即

光速不变下的不变量

以上只是一个二维平直空间的变换，并没有时间这一维度，在这个情况下，位矢大小不变对应旋转，可以得到具体的变换形式。现在我们考虑一个二维时空，仍然可以考虑从一个不变量出发，来得到具体的变换形式。选取 (t,x) 为坐标，需要先找到坐标有关的不变量，即标量，可以利用的基础是光速不变。可以发现，这个不变量是：

可以通过一个思想实验来说明这一点：假设一个沿着x方向以速度v₁运行的飞船，在0时刻向y方向发射了束光。

则经过dτ的时间后，在飞船上的观察者而言，这束光走的是条直线。但是对于地面观察者而言，光走的是一条斜线。在地面观察者眼中，飞船的轨迹、光的轨迹、与飞船和此时光束的连线，共同构成一个直角三角形。如上图所示，这个直角边的底边和斜边长度是清楚的，分别为dx₁=v₁dt₁和cdt₁。右侧边的长度是多少呢？在飞船参考系中，可以明确知道这是cdτ，由于现在的相对运动限定在x方向，可以假设对y方向的长度不造成影响，认为在地面参考系中这个长度仍然是cdτ，于是可以利用勾股定理得到如下关系：

假设飞船的速度不是v₁而是v₂，地面观察者测量的时间是dt₂，距离是dx₂，同样可以得到

即等式右边不依赖于速度的选取。令c=1，最终可以得到不变量

注意以上过程中考察的dt和dx，是地面参考系中飞船从发射光子到经历dτ时间后这两个事件之间的时空间隔，这个间隔是类时的（也即可以找到一个参考系使得其发生在同一点，比如飞船参考系本身），类似地，时空间隔共有类时，类光（光本身经历的时空间隔），类空（可以找到一个参考系使得两个事件发生在同一时间不同地点）三种情况。以上说明了类时情形下dτ²是一个不变量，类光情形利用光速不变容易证明dτ²为0，仍然是不变量，类空情形也可以通过设计思想实验来说明。

从转动到伪转动

有了二维时空中的不变量，进一步可以得到惯性系之间变换的具体形式。为了能够方便利用平直二维空间的结果，将记号进行改写：

类比二维平直空间的情形

可以发现，对于该不变量，按照原来的代数关系，旋转符合保持线元不变的要求，其具体形式为：

整理一下可以将i吸收到变换矩阵里

进一步，进行如下替换

将cos和sin函数延拓到复空间，可以将变换矩阵也变为实数，得到

该变换可以保持光速不变下的不变量，正是要找的变换，即洛伦兹变换。对于惯性系间的变换，还需要将这里的φ与具体的速度v联系起来。考虑一个简单的情形：参考系S’相对S以速度v运动，并在0时刻两个坐标系原点重合，则考虑S’系中坐标原点的坐标，应该有

于是得到

作如下约定

双曲函数满足如下关系

令c=1，可以得到

最终得到

这正是大家熟悉的洛伦兹变换。

总的来看，通过思想实验确定二维平直时空中的不变量，进一步将二维空间中的旋转进行推广得到伪旋转，最终给出了惯性系之间的变换即洛伦兹变换。值得注意的是，洛伦兹变换本质上描述的是位矢的变换，或者是其他张量的变换。当应用到坐标变换时，需要加上在零时刻坐标原点重合这个条件，这实际上保证了位矢与坐标在数值上是等价的。

时空的度规

在以上推导中，可以看到很重要的一步是找到了时空的不变量。给定位矢后，这个不变量的定义方式，即坐标微元前的系数，与二维平直空间有所不同，这是造成差异的本质原因所在。即，度量线长的方式发生了变化，一般称这种具体的度量方式为度规。可以说，对于一个时空，其性质更本质地由其度规定义。矢量的展开一般记为

对于2维时空，这里x₀即为t，x₁即为x。其模方应该表示为

更一般地

定义

这正是度规张量，在四维闵氏时空中，其取值为

给定参考系和坐标后，时空的性质由度规给出。

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